まずは2階のお風呂の空間と、加湿したい空間の空気をつなげる事が大事です。扉を開けるという事です。
そのうえで、サーキュレーターなどを使い、お風呂の空気が加湿したい空間の空気となるべく混じるようにしてあげると、お風呂の湿気を家の中に供給することが可能になります。お湯が冷めても効果はありますので、やってみてください。
加湿の限界を決めるのは家の中で最も熱橋になっている部分の断熱性です。（たいていは窓ガラスのスペーサー周りになることが多いです）どの程度加湿しても良いかは、是非設計者さんに計算してもらってください。